LA DURÉE DU JOUR
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Souhaiteriez-vous savoir comment varie la durée du jour durant l’année ? En effet, cette durée semble être assez constante aux alentour des équinoxes, et varier fortement aux alentour des solstices. Est-ce exact ? Et à toute latitude ? Il est vrai que le calendrier du facteur nous donne les heures de lever et de coucher du soleil. Mais si nous trouvons une formule, nous pourrons tracer des courbes, beaucoup plus parlantes.
• La durée en fonction de l’incidence.
Nous allons, dans un premier temps, déterminer la durée du jour, pour une latitude l donnée, en fonction de l’angle a que font les rayons du soleil avec le plan (P) de l’équateur : a, a > 0 si le soleil se trouve du côté de l’hémisphère nord.
Pour simplifier, nous supposerons :
1) que la terre est une sphère parfaite, de rayon r et de centre T.
2) que les rayons du soleil sont parallèles (autrement dit que le soleil est à l’infini...)
3) que durant toute la journée, l’angle a ne varie pas (pour moi, la journée comprend la nuit, tandis que le jour ne comprend que le jour : vous me suivez ?).
A chaque instant, les rayons du soleil éclairent une moitié de la terre, limitée par un grand cercle (Cj) dont le plan est perpendiculaire aux rayons du soleil. Ce grand cercle coupe le cercle (Cl) parallèle à l’équateur de latitude l () en deux points I et J. Notre problème est de déterminer l’angle au centre b () de l’arc (IJ) de ce cercle qui se trouve dans le jour. Nous appellerons O le centre de ce cercle, K le milieu de [IJ], M et N les points d’intersection de la droite (OK) avec la terre, M dans le jour, N dans la nuit. Pour le raisonnement, nous avons pris l et a positifs : nous sommes dans l’hémisphère nord, en été.
Nous allons calculer OK de deux manières différentes :
D’une part : ,
et d’autre part : .
On en déduit l’étrange formule : ,
d’où : ;
La durée du jour est donc égale, en heures, à :
.
L’algèbre est suffisamment bien faite pour que cette formule soit encore valable quels que soient les signes de a et l.
• L’incidence en fonction du temps
Il nous reste maintenant à déterminer l’incidence a des rayons du soleil en fonction du rang du jour dans l’année.
Nous ferons de nouveaux des hypothèses simplificatrices :
4) L’année comporte 365 journées de 24 h.
5) Le mouvement de la terre autour du soleil est circulaire, de centre le centre S du soleil, et de rayon R.
6) Ce mouvement s’effectue de la façon suivante : chaque journée, la terre effectue une rotation sur elle-même sans bouger par rapport au soleil, puis effectue instantanément un 365ième de tour autour du soleil (de façon à ce que l’incidence a soit constante au cours de la journée).
7) L’angle d que fait l’axe des pôles avec la normale au plan de l’écliptique (plan terre soleil) est constant et vaut 23,45°, et le plan (axe des pôles - normale à l’écliptique) a une direction fixe.
8) Le solstice d’été a lieu le 21 juin à minuit.
L’espace est rapporté au repère orthonormé direct (S,) où dirige la droite (ST) au moment du solstice d’été et dirige la droite (ST) au moment de l’équinoxe d’automne et déterminé par le fait que le pôle nord a une ordonnée > 0.
Désignons par le vecteur normé dirigé du pôle sud vers le pôle nord, par le vecteur , et par q l’angle .
L’existence des saisons provient de ce que le vecteur est égal à , et non
, auquel cas tous les jours auraient la même durée...
L’angle a que nous recherchons est le complémentaire de l’angle , dont on obtient facilement le cosinus à l’aide du produit scalaire :
; on en déduit :
Il nous reste à exprimer q en fonction du rang r du jour dans l’année. Le 21 juin étant le 172ème jour de l’année, .
La formule souhaitée est donc :
Nous avons donc notre fonction durée = f(rang, latitude):
Un peu compliqué, mais Maple ne fait qu’une bouchée de ce genre de formule!
• Les courbes
J’ai fait tracer sept courbes représentant la durée du jour en heures en fonction du rang du jour dans l'année, pour les latitudes 0°, 20°, 40°, 60°, au cercle polaire (latitude 90° - d), à mi-chemin entre le cercle polaire et le pole, et enfin au pôle.
Pour l’équateur, pas de surprise, durée constante égale à douze heures. Ensuite, la courbe a une allure sinusoïdale, mais ce qui est remarquable, c’est qu’au cercle polaire, la fonction semble affine par morceaux.
J’ai essayé de démontrer ce fait, mais n’y suis pas arrivé. Et pour cause, car c’est faux ! Mais on peut montrer qu’elle en est assez proche, car d est petit.
En effet, quand ,
si on remplace froidement dans cette formule tan(x) et sin(x) par x pour x petit,...
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